Народився 24 грудня 1946 року у Казані. Після розлучення батьків із семи років Леонід Філатов проживав із матір’ю в Ашхабаді. Ще навчаючись у школі почав друкуватися в ашхабадських газетах та журналах.
У 1965 році закінчив школу і відразу ж вирішив, що буде актором. Леонід вступив до Щукінського училища на акторський факультет. Займався літературною творчістю, писав вірші. З 1969 року працював актором Московського театру на Таганці.
Одночасно продовжував і літературну діяльність. Вийшли у світ його книги «Лізістрата», «Про Федота-стрільця, молодця», «Велике кохання Робіна Гуда», «Кохання до трьох апельсинів», «Я – людина театральна», «Сукині діти».
Особливо відзначено комедія Філатова «Лізістрата», за неї отримав премію літературного журналу «Жовтень». Леонід Філатов також написав театральні п’єси «Годинник з зозулею», «Строкаті люди», «Художник із Шервудського лісу».
З 1970 Філатов знімається в кіно. 1990 року зняв фільм «Сукіні діти», виступивши і сценаристом, і актором.
У 1996 році випустив диск Помаранчевий кіт з піснями у співавторстві з Качаном. За цикл авторських програм «Щоб пам’ятали» Філатову присуджено премію «ТЕФІ» та Державну премію РФ в галузі кіно та телебачення.
Леонід Філатов помер 26 жовтня 2003 року, похований на Ваганьківському цвинтарі.
Библиотека города N 